Um jovem matemático coreano resolve um dos maiores enigmas do século.

O que começou como uma experiência mental divertida sobre como mover um sofá através de uma esquina tornou-se um dos problemas em aberto mais teimosos da geometria - e um investigador coreano de 31 anos terá agora encerrado a questão com uma prova de 119 páginas, escrita quase inteiramente à mão.

A questão do sofá que se recusava a desaparecer

Em 1966, o matemático austro-canadiano Leo Moser colocou um problema que soava quase como um truque de festa. Imagine um corredor em forma de “L”, com cada braço exatamente um metro de largura. Qual é a maior forma rígida e plana - pense num sofá maciço visto de cima - que pode ser empurrada para contornar a esquina sem a levantar nem a dobrar?

Isto ficou conhecido como o “problema do sofá móvel”. As regras eram claras. A largura do corredor era fixa. A forma tinha de permanecer totalmente dentro do corredor. Podia deslizar e rodar, mas não fletir. O objetivo era maximizar a área da forma.

A pergunta é suficientemente simples para ser explicada a um adolescente, mas suficientemente difícil para resistir aos melhores matemáticos durante quase 60 anos.

No final da década de 1960, investigadores começaram a propor formas candidatas. Em 1968, o matemático britânico John Hammersley concebeu uma figura engenhosa, parecida com um sofá, com uma área de cerca de 2,2074 metros quadrados. A figura encaixava no corredor e tornou-se a referência.

Depois, em 1992, o matemático americano Joseph Gerver foi mais longe. Produziu uma forma extremamente intrincada, construída a partir de muitas curvas suaves. A sua área: aproximadamente 2,2195 metros quadrados. Durante anos, a forma de Gerver foi considerada a campeã - mas ninguém conseguia provar que nada maior poderia funcionar.

Recorreu-se a computadores. Simulações testaram variações, refinaram curvas e tentaram extrair frações adicionais de área. Ainda assim, a incerteza manteve-se. Seria a forma de Gerver verdadeiramente ótima, ou apenas uma aposta muito boa?

Como um recruta tropeçou num puzzle lendário

A história deu uma nova volta longe da América do Norte ou da Europa. Durante o serviço militar obrigatório na Coreia do Sul, Baek Jin-eon foi colocado no Instituto Nacional de Ciências Matemáticas, uma missão rara que lhe permitiu continuar a fazer investigação.

Foi aí que leu pela primeira vez sobre o problema do sofá móvel. O que o cativou não foi apenas a dificuldade, mas a estranha ausência de uma estrutura teórica sólida à sua volta. Para um problema tão famoso, as bases ainda pareciam ad hoc - um conjunto de construções e experiências numéricas, em vez de uma teoria unificada.

Baek decidiu construir primeiro a estrutura em falta e depois atacar o problema desde a base, sem se apoiar em pesquisas computacionais.

Levou essa obsessão para o seu doutoramento na Universidade de Michigan e, mais tarde, para o June E. Huh Center for Mathematical Challenges no Korea Institute for Advanced Study. Durante sete anos, o problema do sofá móvel esteve no centro da sua vida.

Colegas descrevem um processo simultaneamente lento e implacável: esboçar ideias, formalizá-las, encontrar contradições, recomeçar. O próprio Baek comparou o ciclo a alternar sonhos e despertares - lampejos de esperança seguidos da clareza dura de um novo erro encontrado na página 75.

Uma prova de 119 páginas, quase sem computadores

No final de 2024, Baek colocou um manuscrito de 119 páginas no servidor de pré-publicações científicas arXiv. O artigo afirma um resultado definitivo: o sofá de Gerver, de 1992, não é apenas bom - é matematicamente ótimo.

Nenhuma forma rígida e plana com área maior do que a de Gerver pode ser empurrada à volta da esquina em “L” de um metro sem colidir com as paredes.

A afirmação parece direta. A maquinaria por trás dela está longe disso. O passo-chave de Baek foi transformar um puzzle informal num problema de otimização rigoroso. Reformulou toda a questão em termos das posições e orientações possíveis do sofá à medida que este se move.

Em vez de perguntar “que forma funciona melhor?”, estudou o espaço de todos os movimentos permitidos através do corredor e as restrições que esse movimento impõe à fronteira da forma. A partir daí, deduziu condições rígidas que qualquer sofá ótimo tem de satisfazer - e mostrou que essas condições conduzem de forma única à configuração de Gerver.

De forma notável, Baek evitou computação numérica pesada. Não houve simulações em grande escala, nem pesquisa automatizada sobre milhões de formas. A prova assenta em ferramentas clássicas: geometria cuidadosa, cadeias de desigualdades e uma análise de casos meticulosa.

O que os matemáticos verificaram durante anos com computadores

Para não especialistas, ajuda ver o que os trabalhos anteriores tentaram fazer. Em termos gerais, os investigadores usaram software para:

• Aproximar a melhor forma possível ajustando curvas e cantos.
• Simular o movimento dessas formas através do corredor e detetar colisões.
• Estimar limites superiores para a área, excluindo famílias de formas.

A contribuição de Baek é que já não precisa de “estimar” desta maneira. O argumento traça uma linha e afirma: acima da área de Gerver, qualquer sofá hipotético violaria pelo menos uma restrição geométrica - logo, tal forma simplesmente não pode existir.

Um lembrete de que a matemática de lápis e papel ainda morde

O momento desta descoberta importa. A matemática tornou-se profundamente entrelaçada com a computação, desde provas verificadas por máquinas a conjeturas assistidas por IA. Nesse contexto, um grande problema geométrico resolvido quase sem código envia um sinal forte.

O resultado mostra o raciocínio humano no limite, num momento em que muitos esperam que os algoritmos liderem o caminho.

Baek, agora com 31 anos, continua a trabalhar em geometria combinatória e otimização dentro de um ecossistema de investigação coreano em rápido crescimento. O seu artigo está em revisão na prestigiada Annals of Mathematics, uma revista conhecida pelos seus padrões exigentes. Se for aceite, consolidará o problema do sofá móvel como encerrado e elevará Baek a um pequeno grupo de investigadores que resolveram questões “folclóricas” de longa data.

Para além do prestígio, a história liga-se a uma mudança mais cultural. A Coreia do Sul investiu fortemente em ciência fundamental nas últimas duas décadas, procurando complementar a sua força industrial em eletrónica e engenharia. Resultados mediáticos como este indicam que a comunidade matemática do país está a começar a cumprir essa aposta de longo prazo.

Porque é que alguém deveria importar-se com um sofá hipotético

Visto de fora, otimizar a forma de um sofá fictício parece um nicho. No entanto, a matemática subjacente encaixa numa família mais ampla de questões com ecos no mundo real.

Problemas sobre fazer passar objetos por espaços com restrições surgem na robótica (navegar um braço robótico em torno de obstáculos), na logística (planear como mover componentes grandes em fábricas) e até em computação gráfica (planeamento de trajetórias em ambientes virtuais). Todas estas áreas dependem de compreender “espaços de configuração” - conjuntos de todas as posições possíveis que um objeto pode assumir sem colidir com nada.

Conceito	Descrição simples	Onde aparece
Espaço de configuração	Todas as posições e ângulos permitidos de um objeto	Navegação de robôs, animação, planeamento de movimento
Otimização geométrica	Encontrar a “melhor” forma sob regras estritas	Design, problemas de empacotamento, engenharia
Restrições de rigidez	O objeto pode mover-se mas não esticar nem dobrar	Fabrico, arquitetura, ciência dos materiais

O problema do sofá móvel serve como um campo de testes limpo: o corredor é simples, as regras são nítidas e o alvo - área máxima - é fácil de enunciar. Essa clareza permite aos matemáticos testar técnicas que depois podem ser adaptadas a cenários mais práticos, onde o ambiente é confuso e os objetos não são conjuntos matemáticos perfeitos.

Noções-chave por detrás do puzzle

O que “ótimo” significa aqui

Quando os matemáticos dizem que o sofá de Gerver é ótimo, querem dizer algo muito preciso: entre todas as formas planas e rígidas que podem ser movidas à volta da esquina, nenhuma tem uma área estritamente maior. Muitas formas conseguem fazer a curva; algumas são até mais fáceis de manusear. Mas se se pretende a maior superfície possível, não se consegue bater o desenho de Gerver.

Essa noção de optimalidade importa para além dos sofás. Em engenharia, desenhos “suficientemente bons” podem ser aceitáveis. Em matemática pura, o alvo é mais afiado: provar que não existe uma solução melhor em lado nenhum, e não apenas dentro de uma pesquisa limitada.

Experiências mentais que treinam a intuição

O sofá móvel também viveu uma vida paralela como brinquedo de sala de aula. Docentes usam-no para mostrar aos alunos que uma pergunta pode ser:

• Fácil de compreender.
• Difícil de formalizar com rigor.
• Extremamente desafiante de encerrar de forma definitiva.

Um exercício comum é pedir aos alunos que desenhem os seus próprios “melhores sofás” e depois os simulem usando software básico ou recortes de papel num corredor de cartão. O momento em que a forma cuidadosamente desenhada fica presa na esquina interior mostra, de forma concreta, como as restrições se impõem na geometria.

Para além do sofá: o que vem a seguir

Com este problema aparentemente resolvido, a atenção deverá passar para variantes. E se a largura do corredor mudar ao longo do seu comprimento? E se o objeto puder fletir dentro de certos limites? E se o corredor virar duas vezes em vez de uma, ou se ramificar como um labirinto?

Cada alteração acrescenta novos graus de liberdade e novas dificuldades. Ainda assim, os métodos que Baek desenvolveu - formalizar o movimento, fixar condições necessárias, excluir famílias inteiras de formas - podem transferir-se. Investigadores jovens têm agora um novo conjunto de ferramentas e uma referência para o tipo de persistência que estes puzzles exigem.

Para leitores curiosos em experimentar algo semelhante em casa, há uma atividade simples: desenhe um corredor em “L” em papel quadriculado, recorte diferentes formas em cartão e teste quais conseguem “andar” à volta da curva sem levantar a peça. Esse pequeno jogo espelha, de forma muito rudimentar, as mesmas restrições que ocuparam matemáticos profissionais ao longo de três gerações.

O problema do sofá móvel está agora, muito provavelmente, encerrado. O corredor mantém a mesma largura, a esquina continua a virar a noventa graus, mas graças a um matemático coreano paciente, a forma que passa com área máxima já não se esconde nas sombras da conjetura.